4.5.2. Muestras pequeñas: prueba de Kolmogórov-Smirnov para ajuste de una distribución de probabilidades continua hipotética

prueba de Kolmogórov-Smirnov para ajuste de una distribución de probabilidades continua hipotética

En estadística, la prueba de Kolmogórov-Smirnov (también prueba K-S) es una prueba no paramétrica que determina la bondad de ajuste de dos distribuciones de probabilidad entre sí. Compara la función de distribución acumulada observada de una variable con una distribución teórica determinada, que puede ser la normal, la uniforme, la de Poisson o la exponencial.

Sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria. Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

Ejemplo 1:

En una investigación, consistente en medir la talla de 100 niños de 5 años de edad, se desea saber si las observaciones provienen de una población normal.

Elección de la prueba estadística.
El modelo experimental tiene una muestra y es factible un arreglo en el carácter ordinal o en los rangos de las series de clases.Véase: Estadística/Flujogramas/Flujograma 1

Planteamiento de la hipótesis.

• Hipótesis alterna (Ha). Los valores observados de las frecuencias para cada clase son diferentes de las frecuencias teóricas de una distribución normal.
• Hipótesis nula (Ho). Las diferencias entre los valores observados y los teóricos de la distribución normal se deben al azar.

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Tabla de 100 niños. Los valores X + s son 99.2 ± 2.85.

Aplicación de la prueba estadística.
Primero se elaboran los cálculos de los valores teóricos esperados para la distribución normal.

Inicialmente se determina el valor Z de los límites de cada clase en la serie, por ejemplo: en la primera clase se determinan el límite inferior y el superior (90 y 93), y en las subsecuentes sólo los límites superiores (97, 101, 105 y 109). Para cada valor de Z, se localiza el área bajo la curva norma tipificada. (Véase: tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a 2).

Los cálculos de valores Z, son de la forma siguiente:

Y así sucesivamente.

Para cada valor Z, se localiza el área de la curva tipificada de la tabla de números aleatorios. A partir de estos valores, se obtiene la diferencia entre los límites de clases entre el superior y el inferior, por ejemplo: 0.4997 – 0.4793 = 0.020, 0.4793 – 0.2357 = 0.2436, 0.2357 – (-0.2794) = 0.5151, -0.2794 – (-0.4854) = 0.206 y -0.4854 – (-0.4994) = 0.014.

Estos resultados de diferencias se multiplican por el tamaño de la muestra (100 niños), luego se obtienen las frecuencias teóricas y después se arreglan en frecuencias acumuladas.

Cálculos de los valores teóricos.

Las frecuencias acumuladas teóricas y las observadas se arreglan en los rangos correspondientes, como se muestra en la siguiente tabla, y posteriormente se aplica la fórmula de Kolmogorov-Smirnov.

Cálculo estadístico D de Kolmogorov-Smirnov.

D = ft – fobs = – 0.036

La diferencia máxima D es igual a -0.049, valor que se compara con los valores críticos de D en la prueba muestral de Kolmogorov-Smirnov y se obtiene la probabilidad de la existencia de esa magnitud de acuerdo con la prueba de Kolmogorov-Smirnov. El valor N es 100 y el mayor número de N en la tabla es 35, por lo cual se aplica la fórmula al pie de la tabla:

Para la probabilidad de 

Lo anterior quiere decir que para todo valor menor que el crítico para una probabilidad de 0.05, la probabilidad correspondiente es mayor que 0.05, y todo valor mayor que D al calculado tinen una probabilidad menor que 0.05, o sea, es inversamente proporcional al crítico determinado o localizado en la tabla.

Decisión.
En virtud de lo anterior, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov obtendo es menor que el crítico y su probabilidad mayor que 0.05, por lo tanto, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.
Las frecuencias observadas y las teóricas calculadas no difieren significativamente. Por lo tanto, las observaciones tienen una distribución normal.

4.5 muestra definitivas

4.5.1 estadisticas descriptivas

 

Estadística Descriptiva

La estadística descriptiva es la rama de las Matemáticas que recolecta, presenta y caracteriza un conjunto de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) con el fin de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto.  

 UNIDAD DE ANÁLISIS O DE OBSERVACIÓN: al objeto bajo estudio. Puede ser una persona, una familia, un país, una institución o en general, cualquier objeto.

 - VARIABLE: a cualquier característica de la unidad de observación que interese registrar y que en el momento de ser registrada puede ser transformada en un número.

 - VALOR de una variable, DATO u OBSERVACIÓN o MEDICIÓN: al número que describe a la característica de interés en una unidad de observación particular. 

CASO o REGISTRO: al conjunto de mediciones realizadas sobre una unidad de observación. +


• Variables cualitativas o categóricas: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).  

, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:
      

• Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3.45).  

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 90.4 km/h, 94.57 km/h...etc.


Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir los siguientes conceptos:

Población: conjunto total de los sujetos o unidades de análisis de interés en el estudio 

Muestra: cualquier subconjunto de sujetos o unidades de análisis de la población en estudio.

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si se estudia el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.


DATOS. CLASIFICACIÓN, ORGANIZACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES ESTADÍSTICOS

Los datos son medidas y/o números recopilados a partir de la observación. Los datos pueden concebirse como información numérica necesaria para ayudar a tomar una decisión con más bases en una situación particular.

Los datos se pueden clasificar en:

• Datos discretos. Son respuestas numéricas que surgen de un proceso de conteo.
 • Datos continuos. Son respuestas numéricas que surgen de un proceso de medición.


ESCALAS DE MEDICIÓN
a) Medición Nominal.

se establecen categorías distintivas que no implican un orden específico. Por ejemplo, si la unidad de análisis es un grupo de personas, para clasificarlas se puede establecer la categoría sexo con dos niveles, masculino (M) y femenino (F), los encuestados sólo tienen que señalar su género, no se requiere de un orden real.


b) Medición Ordinal.

 Se establecen categorías con dos o más niveles que implican un orden inherente entre si. La escala de medición ordinal es cuantitativa porque permite ordenar a los eventos en función de la mayor o menor posesión de un atributo o característica. Por ejemplo, en las instituciones escolares de nivel básico suelen formar por estatura a los estudiantes, se desarrolla un orden cuantitativo pero no suministra medidas de los sujetos.

c) Medición de Intervalo.   

La medición de intervalo posee las características de la medición nominal y ordinal. Establece la distancia entre una medida y otra. La escala de intervalo se aplica a variables continuas pero carece de un punto cero absoluto. El ejemplo más representativo de este tipo de medición es un termómetro, cuando registra cero grados centígrados de temperatura indica el nivel de congelación del agua y cuando registra 100 grados centígrados indica el nivel de ebullición, el punto cero es arbitrario no real, lo que significa que en este punto no hay ausencia de temperatura.

  d) Medición de Razón.

Una escala de medición de razón incluye las características de los tres anteriores niveles de medición (nominal, ordinal e intervalo). Determina la distancia exacta entre los intervalos de una categoría. Adicionalmente tiene un punto cero absoluto, es decir, en el punto cero no existe la característica o atributo que se mide. Las variables de ingreso, edad, número de hijos, etc. son ejemplos de este tipo de escala. El nivel de medición de razón se aplica tanto a variables continuas como discretas.


ORGANIZACIÓN DE DATOS

 Los datos son información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc.

. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla.

Es importante recordar que nunca se colocan las tablas y las gráficas juntos, porque en realidad dicen lo mismo, corrientemente se utiliza o una tabla y su análisis, o una gráfica y su análisis
 

4.4.3 intervalo de confianza

Intervalos de confianza

La estimación puntual trata el problema de estimar mediante un número el valor de una característica poblacional o parámetro θ desconocido (por ejemplo, la estimación del IPC de un determinado periodo). 

La idea de Intervalo de Confianza, es proponer un rango de valores entre los que posiblemente se encuentre el verdadero valor del parámetro θ. 

La estimación por intervalos de confianza consiste en determinar un posible rango de valores o intervalo, en los que pueda precisarse –con una determinada probabilidad– que el valor de un parámetro se encuentra dentro de esos límites.

Dada una muestra aleatoria X1, . . . , Xn, se denomina Intervalo de Confianza para el parámetro θ con nivel 1 − α, a un intervalo aleatorio
(θ1, θ2) –cuyos límites dependen de la muestra– de manera que: P (θ1 (X1, . . . , Xn) ≤ θ ≤ θ2 (X1, . . . , Xn) = 1 − α, para cada θ ∈ Θ.


El concepto de “confianza” en el intervalo es muy importante. Supongamos que queremos con una confianza del 95% que el verdadero valor del parámetro θ est´e en un intervalo. Si en vez de considerar todas las muestras posibles consideramos 100 muestras. Entonces habrá más o menos 95 intervalos que contienen el valor del parámetro.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MUESTRA

INTERVALO PARA LA MEDIA CON LA VARIANZA CONOCIDA

Supongamos una población cuya caracteóstica en estudio puede describirse mediante una variable aleatoria X con distribución N(µ, σ).

Sea X1, . . . , Xn una M.A.S. de X.

4.2 calculo del numero minimo de observaciones necesarias

Cálculo del número mínimo de observaciones necesarias 

El tamaño de la muestra o cálculo de número de observaciones es un proceso vital en la etapa de cronometraje, dado que de este depende en gran medida el nivel de confianza del estudio de tiempos. Este proceso tiene como objetivo determinar el valor del promedio representativo para cada elemento. Los métodos más utilizados para determinar el número de observaciones son:

•  Método estadístico
•   Método tradicional 

MÉTODO ESTADÍSTICO 

El método estadístico requiere que se efectuen cierto número de observaciones preliminares (n’), para luego poder aplicar la siguiente fórmula:

NIVEL DE CONFIANZA DEL 95,45% Y UN MÁRGEN DE ERROR DE ± 5%

Siendo:

n = Tamaño de la muestra que deseamos calcular (número de observaciones)

n’ = Número de observaciones del estudio preliminar

Σ = Suma de los valores

x = Valor de las observaciones.

40 = Constante para un nivel de confianza de 94,45%

Ejemplo:

Se realizan 5 observaciones preliminares, los valores de los respectivos tiempos transcurridos en centésimas de minuto son: 8, 7, 8, 8, 7. Ahora pasaremos a calcular los cuadrados que nos pide la fórmula:

n’ = 5

Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior tendremos el valor de n:

Dado que el número de observaciones preliminares (5) es inferior al requerido (7), debe aumentarse el tamaño de las observaciones preliminares, luego recalcular n. Puede ser que en recálculo se determine que la cantidad de 7 observaciones sean suficientes.

Método tradicional

Este método consiste en seguir el siguiente procedimiento sistemático:

1. Realizar una muestra tomando 10 lecturas sí los ciclos son <= 2 minutos y 5 lecturas sí los ciclos son > 2 minutos, esto debido a que hay más confiabilidad en tiempos más grandes, que en tiempos muy pequeños donde la probabilidad de error puede aumentar.

2. Calcular el rango o intervalo de los tiempos de ciclo, es decir, restar del tiempo mayor el tiempo menor de la muestra:

R (Rango) = Xmax – Xmin

3. Calcular la media aritmética o promedio:

Siendo:

Σx = Sumatoria de los tiempos de muestra

n = Número de ciclos tomados

4.  Hallar el cociente entre rango y la media:

5. Buscar ese cociente en la siguiente tabla, en la columna (R/X), se ubica el valor correspondiente al número de muestras realizadas (5 o 10) y ahí se encuentra el número de observaciones a realizar para obtener un nivel de confianza del 95% y un nivel de precisión de ± 5%.

Ejemplo

Tomando como base los tiempos contemplados en el ejemplo del método estadístico, abordaremos el cálculo del número de observaciones según el método tradicional.

En primer lugar como el ciclo es inferior a los 2 minutos, se realizan 5 muestras adicionales (6, 8, 8, 7, 8) para cumplir con las 10 muestras para ciclos <= 2 minutos. Las observaciones son las siguientes:

Se calcula el rango:

R (Rango) = 8 – 6 = 2

Ahora se calcula la media aritmética:

Ahora calculamos el cociente entre el rango y la media:

Ahora buscamos ese cociente en la tabla y buscamos su intersección con la columna de 10 observaciones:

Tenemos entonces que el número de observaciones a realizar para tener un nivel de 

confianza del 95% según el método tradicional es: 11

Al adicionar los 5 tiempos y utilizar el método estadístico tenemos un número de observaciones igual a: 12.8 aproximadamente 13.

Por lo cual podemos concluir que ambos métodos arrojan resultados muy parecidos y que la elección del método se deja a criterio del especialista.

4.4.1. Establecimiento de la precisión

Establecimiento de la precisión 

Sea H un intervalo cualquiera definido sobre la recta real. Definiremos ahora una variable ficticia, XH , de la siguiente forma:

 De manera que cada observación de Xt Ileva asociada una observación -con valor o ó 1- de la variable XNr . La función de densidad teórica -desconocida- de Xt asigna una probabilidad pH al intervalo H. Esto significa que:

Producir T replicaciones del vector y, implica disponer de una muestra de T “observaciones" de la variable real X. Esta muestra lleva asociada, a su vez, una muestra de tamaño T de la variable Xy .Esta variable sigue una distribución binaria de parámetro pH , así que la suma de las T observaciones de XH , ZH = XH^ +. ,.+ X y T , sigue una distribución binomial b(pH ,^. Es oportuno aquí hacer una adaptación al presente contexto del concepto de estimación precisa de Finster{ 1987) Definición 1. ,ZH /T es una estimación precisa de pN con nivel de imprecisión A y confianza 1-a (can 0< cx < 1), si

EI conjunta de precisión [-A, A] es el conjunto de errores de simulación aceptables. En lo que sigue a continuación se intentará determinar cuál es el número de replicaciones mínimo para obtener una estimación de pH can nivel de imprecisión fijo A y confianza 1-a. EI teorema de Moivre (ver por ejemplo Fz. de Trocóniz 1993) prueba que la sucesión b(pH ,1), b(pH ,2),. ..,b(pH , 7^, es asintóticamente normal N{T pH ,T p^ [1- pH ]) de manera que si T pH > 1 S se suele tomar como válida la siguiente aproximación a la distribución de ZH :

entonces, para la frecuencia binomial, ZH IT, se tiene :

Si t^ es el cuantil aJ2 correspondiente a la cola derecha de la distribución N(0,1),

ALGORITMO CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO

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Algoritmo Congruencial Multiplicativo

Un algoritmo que se utiliza para generar números pseudo aleatorios, es el algoritmo congruencia multiplicativo. Tiene como base al algoritmo congruencia lineal pero conlleva una operación menos.

La operación principal es la siguiente:

$X_{i+1} = (aX_{i}) mod (m)$

Es decir, se toma una semilla a la que llamaremos $X_{0}$. Se multiplica por un número a y al resultado de la multiplicación se divide por m recuperando solo el residuo o módulo de la división. Este valor será X1, y así sucesivamente.

Esta operación nos da un valor entero. Si deseamos un número pseudo aleatorio en el intervalo (0,1), debemos realizar la siguiente operación sobre el número anteriormente obtenido.

$R_{i} = X_{i} / (m-1)$

Es decir, al número que produjo la primera operación, se le divide entre m-1. Nos dará un valor entre 0 y 1.

Para mejorar la eficiencia del algoritmo se deben seguir ciertas condiciones para los valores $a, m, X_{0}$. (Banks, Carson, Nelson y Nicol, citados por García, García y Cárdenas (2006).

Condiciones

$M = 2^g$

$A = 3+8k$ o bien $a = 5+8k$

K = 0,1,2,3,…

$X_{0}$ debe ser impar

algoritmo lineal

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que es algoritmo lienal?

Algoritmo Lineal 

Este algoritmo congruencial fue propuesto por D. H. Lehmer en 1955. Según Law y Kelton, este algoritmo ha sido el más utilizado. El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de la siguiente ecuación recursiva: 

( )mod( ) Xi+1 = a Xi + c m Con i = 1, 2, 3,...,n 

Donde X0 es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es una constante aditiva y m es el módulo: X0 > 0 , a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser números enteros. La operación “mod m ” significa multiplicar Xi por a , sumar c y dividir el resultado entre m para obtener el residuo Xi+1 . Es importante señalar que la ecuación recursiva del algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros y que para obtener números pseudo aleatorios en el intervalo (0, 1) se requiere de la siguiente ecuación: 

−1 = m X r i i 

Con i = 1,2,3,...,n 

Para que el algoritmo sea capaz de lograr el máximo período de vida n , es preciso que los parámetros X0 , a , y m cumplan con ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren lo siguiente: m debe ser múltiplo de g 2 , donde g debe ser entero, a = 1+ 4k , donde k debe ser entero y c debe ser relativamente primo a m . Bajo estas condiciones se obtiene un período de vida máximo: g N = m = 2 .